函数分解和SH

对于任意函数 $f(x)$，不管是连续的还是不连续的，我们可以展开成一系列基函数（每项都带某个系数）的线性组合：

$$f(x)=\sum_{i} c_{i} \cdot B_{i}(x)$$

​ 比如傅里叶变换是利用不同频率余弦波近似一个函数的，还有一种球谐的方法，听到他的球字我们就知道它非常适合拟合球面内容，这非常适合拟合环境光贴图或者其他球形分布的内容。

​ SH有不同阶数，阶数越高拟合程度越高，但是其很难拟合高频信息，我们一般用三阶(1+3+5=9个基函数)拟合环境光照。

• 在第0阶（l=0）有1个基函数（m=0）
• 在第1阶（l=1）有3个基函数（m=-1,0,1）
• …
• 在第n阶（l=n）有2n+1个基函数（m=-n,…,0,…,n）。

我们转换到实数形式：

到此我们获得了基函数，对于不同的环境光照前三阶SH基函数都是一样的，那是靠什么来拟合出不同环境光照的呢？是SH系数！

我们了解下这些SH基函数到底有什么特点:

• 正交性，基函数之间相乘在球面积分是0

  $$\int_{\Omega} B_{i}(\omega) \cdot B_{j}(\omega) \mathrm{d} \omega=\mathbf{1} \quad(i=j) \\\int_{\Omega} B_{i}(\omega) \cdot B_{j}(\omega) \mathrm{d} \omega=\mathbf{0} \quad(i\neq j)$$

• 求SH系数很方便，我们刚才说到SH系数一求出来就直接可以表达环境光了：相当于把环境光和基函数方向做卷积，落实到代码中就是对于每个bi，采样环境光和bi做积分。

  $$f_i = \int_{\Omega}f(\omega)\cdot B_i(\omega)d\omega$$

• 最后通过系数向量组与基函数组的点积（前n阶的基函数/系数共有 n*n 个）可以很方便重建球面函数！

  $$f(\omega)\approx \sum^{n^2}_{i=1} f_{i} B_{i}(\mathbf{\omega})$$

回到PRT

如何shading一点在环境光照中？

$$L(r)=\int_{\Omega^+} L_e(\mathbf{\omega})\cdot \rho(r,w) \cdot V(\mathbf{\omega}) \max (0, n\cdot \mathbf{\omega}) \mathrm{d} \mathbf{\omega}=\int_{\Omega^+} L_e(\mathbf{\omega})\cdot T(r,w) \mathrm{d} \mathbf{\omega}$$

我们分两部分考虑，光照和光传输

Light部分就是我们刚才一直在推导的环境光，直接算出球谐表达：

$$L_e(\mathbf{\omega}) \approx \sum l_{i} B_{i}(\mathbf{\omega})$$

下面考虑光照传输部分，对于漫反射和镜面反射要分开解决：

Diffuse部分

漫反射部分传输方程如下：

$$T(\omega)=V(\mathbf{\omega}) \max (0, n\cdot \mathbf{\omega})$$

我们也用SH表示可以：

$$T(\omega) \approx \sum T_j B_j(\omega)$$

带入整理：注意利用基函数正交性

$$\begin{align} L(r) &\approx \rho \int_{\Omega^+} \sum_{i=1}^{n^2}l_{i}B_i(\omega) \sum_{j=1}^{n^2}T_j\mathrm{B}_{j}(\mathbf{\omega}) \mathrm{d} \mathbf{\omega} \\ &= \rho\sum_{i=1}^{n^2} \sum_{j=1}^{n^2} l_{i}T_j\int_{\Omega^+} B_i(\omega) \mathrm{B}_{j}(\mathbf{\omega})d\omega \\ &= \rho\sum_{i=1}^{n^2} l_{i}T_i\int_{\Omega^+} B_i(\omega) \mathrm{B}_{i}(\mathbf{\omega})d\omega \\ &= \rho\sum_{i=1}^{n^2} l_{i}T_i \end{align}$$

这也体现了正交性可以很棒的帮我们简化了公式，这也是利用SH的主要原因。

我们只需要求出$l$和$T$就可以很好的解决了问题！

Glossy部分

由于Glossy部分不再是漫反射，镜面反射是有方向的，这就相当于增加了一个维度：

环境光照部分还是一样：

$$L_e(\mathbf{\omega}) \approx \sum l_{i} B_{i}(\mathbf{\omega})$$

对于传输光照部分：

我们需要考虑brdf的高光项，这会代来一个新的维度即出射方向

$$T(r,\omega)=\rho(r,\mathbf{\omega}) V(\mathbf{\omega}) \max (0, n\cdot \mathbf{\omega})$$

如果我们固定r方向，还是可以预计算：

$$T(r,\omega) \approx \sum_{i=1}^{n^2} T_{i}(r)B_i(\omega)\approx$$

我们考虑对$T_i(r)$也做一个球谐：

$$\sum_{i=1}^{n^2} \sum_{j=1}^{n^2} T_{ij} B_j(r)B_i(\omega)$$ $$\begin{align} L(r) & \approx \int_{\Omega^+} \sum_{i=1}^{n^2} l_{i} B_{i}\sum_{j=1}^{n^2}\sum_{k=1}^{n^2} T_{jk} B_j(\omega)B_k(r)\mathrm{d} \mathbf{\omega} \\ &= \sum_{i=1}^{n^2}\sum_{j=1}^{n^2}\sum_{k=1}^{n^2} l_iT_{jk }B_k(r) \int_{\Omega^+} B_{i}(\omega)B_j(\omega)\mathrm{d} \mathbf{\omega} \\ &= \sum_{i=1}^{n^2}\sum_{k=1}^{n^2}l_iT_{ik }B_k(r) \end{align}$$

现在除了l预计算，还要预计算$T_{ik}$这个二维信息，不过我们还是可以接受的.

但是由于 Glossy 物体需要每个顶点存储三个矩阵 T（RGB颜色每个通道对应1个矩阵），这使得空间开销略大，因此不太实用。

PRT旋转/SH旋转

SH旋转的两种情况

​ SH可以旋转吗？球基函数看起来天生就适合做这个，我们来看看怎么做到。

​ 最简单的就是，环境光旋转和物体旋转在 PRT 渲染中是等价的。我们也可以对输入向量来进行反向旋转，来获得等同于环境光正向旋转的效果；只是如果考虑每次对输入向量进行旋转操作比较费的话，可以考虑一次性旋转完 SH lighting，就避免了输入向量旋转的操作了。

​ 我们总结下：

• 如果单个物体旋转，场景其他物体不旋转，我们可以就只对该物体计算SH系数时采样向量做一个旋转即可。
• 如果整个天空盒旋转，每个物体旋转会有一些开销，不妨考虑对SH系数求一个旋转矩阵，一次计算后获得新的SH系数，所有物体都用这个新SH系数的即可。

怎么计算SH系数旋转矩阵

现在来想想如何计算SH系数旋转矩阵：

计算示例

这样每一阶的SH系数都可以算出一个旋转矩阵，分别计算即可。

n的选取有说法吗？