区间DP+平行四边形优化总结

区间DP+平行四边形优化总结

区间DP形式模板：

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//n是区间长度，dp[i][j]存从i 到 j 区间合并的最优值
//w[i][j]表示从i 到 j的花费
for(i = 1;i <= n;i++)
    dp[i][i] = 初始值；
for(len = 2;len <= n;len++){//len选择区间长度
    for(i = 1;i <= n;i++){//枚举起点
        j = i + len - 1;//合并终点
        if(j > n)break;//不可越界
        for(k = i;k < j;k++)//枚举分割点，寻找最优分割
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);//状态转移
    }
}

平行四边形优化：

我们不难发现上面的复杂度为$O（n^3）$，通过平行四边形优化，可以将第三维枚举（枚举最优分割点）的范围大大缩小。

定理：二位决策单调性

在转移方程$F[i,j]=min_{i\leq k<j} {F[i,k]+F[k+1,j]+w(i,j)}$中,记$P[i]$为令$F[i,j]$取到最小值的K值。

如果F满足四边形不等式，那么对于任意$i<j$,有$P[i,j-1]\le P[i,j]\le P[i+1,j]$.

优化：

$P[i,j-1]\le P[i,j]\le P[i+1,j]$作为第三维的范围，这样就缩小了寻找最优分割点的次数

区间DP+四边形优化板子：

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//n是区间长度，dp[i][j]存从i 到 j 区间合并的最优值
//w[i][j]表示从i 到 j的花费， s[i][j]记录从i 到 j的最优分割点
for(i = 1;i <= n;i++){
    dp[i][i] = 初始值；
    s[i][i] = i;
}
for(len = 2;len <= n;len++){//len选择区间长度
    for(i = 1;i <= n;i++){//枚举起点
        j = i + len - 1;//合并终点
        if(j > n)break;//不可越界
        for(k = s[i][j - 1];k < s[i + 1][j];k++)//在最优分割点范围内枚举分割点（四边形优化）
            if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]){
                dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j];
                s[i][j] = k;//更新最佳分割点
            }
    }
}

例题：HDU3561 Tree Construction

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3516

转移方程：$dp[i][j]=min { dp[i][k-1]+dp[k][j] + dis(uni(i,k-1),uni(k,j))}$

其中$dp[i][j]$表示从$i$到$j$的最优解，$dis(i,j)$表示$i$和$j$之间的曼哈顿距离，$uni(i,j)$表示将$i$和$j$用平行于坐标轴的线段连在一起时的拐角点。

然后可以证明这是满足四边形优化条件的。

然后四边形优化一下就好。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=100000000;
int dp[1000+5][1000+5];
int s[1000+5][1000+5];
int x[1000+5],y[1000+5];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
             scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
             //printf("i=%d\n",i);
        }
        for(int i=1;i<=1000+2;i++) { s[i][i]=i;dp[i][i]=0;}//init
        for(int len=1;len<=n;len++)
        {
            for(int l=1;l+len<=n;l++)
            {
                int r=l+len;
                dp[l][r]=inf;
                for(int k=s[l][r-1];k<=s[l+1][r];k++)//四边形优化   单调决策性 :[s[i][j-1],s[i+1][j]]
                {
                    if(dp[l][k]+dp[k+1][r]+abs(x[k+1]-x[l])+abs(y[k]-y[r])<=dp[l][r])
                    {
                        dp[l][r]=dp[l][k]+dp[k+1][r]+abs(x[k+1]-x[l])+abs(y[k]-y[r]);
                        s[l][r]=k;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}