数位DP总结+模板

数位DP总结+模板

简介：

数位dp是一种计数用的dp，一般就是要统计一个区间[le,ri]内满足一些条件数的个数。所谓数位dp，字面意思就是在数位上进行dp咯。数位还算是比较好听的名字，数位的含义：一个数有个位、十位、百位、千位……数的每一位就是数位啦！
之所以要引入数位的概念完全就是为了dp。数位dp的实质就是换一种暴力枚举的方式，使得新的枚举方式满足dp的性质，然后记忆化就可以了。

一种新的枚举方式：

两种不同的枚举：对于一个求区间[le,ri]满足条件数的个数，最简单的暴力枚举不方便记忆化，或者说根本无状态可言。
新的枚举：控制上界枚举，从最高位开始往下枚举，例如：ri=213，那么我们从百位开始枚举：百位可能的情况有0,1,2(觉得这里枚举0有问题的继续看)

然后每一位枚举都不能让枚举的这个数超过上界213（下界就是0或者1，这个次要），当百位枚举了1，那么十位枚举就是从0到9，因为百位1已经比上界2小了，后面数位枚举什么都不可能超过上界。所以问题就在于：当高位枚举刚好达到上界是，那么紧接着的一位枚举就有上界限制了。具体的这里如果百位枚举了2，那么十位的枚举情况就是0到1，如果前两位枚举了21，最后一位之是0到3(这一点正好对于代码模板里的一个变量limit 专门用来判断枚举范围)。

最后一个问题：最高位枚举0：百位枚举0，相当于此时我枚举的这个数最多是两位数，如果十位继续枚举0，那么我枚举的就是以为数咯，因为我们要枚举的是小于等于ri的所以数，当然不能少了位数比ri小的咯！(这样枚举是为了无遗漏的枚举，不过可能会带来一个问题，就是前导零的问题，模板里用lead变量表示，不过这个不是每个题目都是会有影响的，可能前导零不会影响我们计数，具体要看题目)

由于这种新的枚举只控制了上界所以我们的Main函数总是这样：

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int main()
{
    long long le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
        printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));
}

数位DP板子+详解：

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typedef long long ll;
int a[20];
ll dp[20][state];//不同题目状态不同
ll dfs(int pos,/*state变量*/,bool lead/*前导零*/,bool limit/*数位上界变量*/)//不是每个题都要判断前导零
{
    //递归边界，既然是按位枚举，最低位是0，那么pos==-1说明这个数我枚举完了
    if(pos==-1) return 1;/*这里一般返回1，表示你枚举的这个数是合法的，那么这里就需要你在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。不过具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1 */
    //第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
    if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];
    /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态是对应，具体为什么是有条件的记忆化后面会讲*/
    int up=limit?a[pos]:9;//根据limit判断枚举的上界up;这个的例子前面用213讲过了
    ll ans=0;
    //开始计数
    for(int i=0;i<=up;i++)//枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了
    {
        if() ...
        else if()...
        ans+=dfs(pos-1,/*状态转移*/,lead && i==0,limit && i==a[pos]) //最后两个变量传参都是这样写的
        /*这里还算比较灵活，不过做几个题就觉得这里也是套路了
        大概就是说，我当前数位枚举的数是i，然后根据题目的约束条件分类讨论
        去计算不同情况下的个数，还有要根据state变量来保证i的合法性，比如题目
        要求数位上不能有62连续出现,那么就是state就是要保存前一位pre,然后分类，
        前一位如果是6那么这意味就不能是2，这里一定要保存枚举的这个数是合法*/
    }
    //计算完，记录状态
    if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
    /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/
    return ans;
}
ll solve(ll x)
{
    int pos=0;
    while(x)//把数位都分解出来
    {
        a[pos++]=x%10;//个人老是喜欢编号为[0,pos),看不惯的就按自己习惯来，反正注意数位边界就行
        x/=10;
    }
    return dfs(pos-1/*从最高位开始枚举*/,/*一系列状态 */,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛
}
int main()
{
    ll le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
    {
        //初始化dp数组为-1,这里还有更加优美的优化,后面讲
        printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));
    }
}

例题：

HDU2089-不要62：

就是数位上不能有4也不能有连续的62，没有4的话在枚举的时候判断一下，不枚举4就可以保证状态合法了，所以这个约束没有记忆化的必要，而对于62的话，涉及到两位，当前一位是6或者不是6这两种不同情况我计数是不相同的，所以要用状态来记录不同的方案数。
$dp[pos][sta]$表示当前第$pos$位，前一位是否是6的状态，这里sta只需要去0和1两种状态就可以了，不是6的情况可视为同种，不会影响计数。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int a[20];
int dp[20][2];
int dfs(int pos,int pre,int state,bool limit)
{
    if(pos==-1) return 1;
    if(!limit&&dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];
    int up=limit?a[pos]:9;
    int tep=0;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        if(pre==6&&i==2) continue;//62
        if(i==4) continue;//4
        tep+=dfs(pos-1,i ,i==6,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit) dp[pos][state]=tep;
    return tep;
}
int solve(int x)
{
    int pos=0;
    while(x)
    {
        a[pos++]=x%10;
        x=x/10;
    }
    return dfs(pos-1,-1,0,true);
}
int main()
{
    int l,r;
    while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF&&(l||r))
    {
        memset(dp,-1,sizeof dp);
        printf("%d\n",solve(r)-solve(l-1));
    }
    return 0;
}

HDU3555-Bomb：

一样，这个是不要49

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int a[20];
ll dp[20][2];
ll dfs(int pos,int pre,int state,bool limit)
{
    if(pos==-1) return 1;
    if(!limit&&dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];
    int up=limit?a[pos]:9;
    ll tep=0;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        if(pre==4&&i==9) continue;//49
        //if(i==4) continue;//4
        tep+=dfs(pos-1,i ,i==4,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit) dp[pos][state]=tep;
    return tep;
}
ll solve(ll x)
{
    int pos=0;
    while(x)
    {
        a[pos++]=x%10;
        x=x/10;
    }
    return dfs(pos-1,-1,0,true);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    while(T--)
    {
        ll x;
        scanf("%lld",&x);
        printf("%lld\n",x-solve(x)+1);
    }
    return 0;
}

一些优化技巧：

第一:memset(dp,-1,sizeof dp);放在多组数据外面。

这一点是一个数位特点，使用的条件是：约束条件是每个数自身的属性，而与输入无关。
具体的：上一题不要62和4，这个约束对每一个数都是确定的，就是说任意一个数满不满足这个约束都是确定，比如444这个数，它不满足约束条件，不管你输入的区间是多少你都无法改变这个数不满足约束这个事实，这就是数自身的属性（我们每组数据只是在区间计数而已，只能说你输入的区间不包含444的话，我们就不把它统计在内，而无法改变任何事实）。
由此，我们保存的状态就可以一直用(注意还有要limit，不同区间是会影响数位在有限制条件下的上限的)
这点优化就不给具体题目了，这个还有进一步的扩展。不过说几个我遇到的简单的约束：
1.求数位和是10的倍数的个数,这里简化为数位sum%10这个状态，即dp[pos][sum]这里10 是与多组无关的，所以可以memset优化，不过注意如果题目的模是输入的话那就不能这样了。
2.求二进制1的数量与0的数量相等的个数，这个也是数自身的属性。

待补技巧：

1.HDU 4734 所用到的相减技巧

2.HDU 3709 这题就是要枚举中轴，然后数位dp